De Perfecto a Primo

En este año 2007 he agregado varias notas a este Blog. Agregar notas a un Blog es un proceso numerable, o sea ocurre sobre los naturales. Entre estos naturales viven algunos perfectos. Echemos un vistazo.

Es agradable terminar este año con la nota número 29. Aunque el 28 es muy especial: es el segundo “número perfecto”. El 29 es también especial: es el décimo “número primo” positivo. Por ello esta nota será muy breve. Solo significativa por esta correspondencia sucesiva.

Un número perfecto es un natural igual a la suma de todos sus divisores “propios” positivos. Ejemplo: 6=2*3=1+2+3 y 28=2*2*7=1+2+4+7+14 son números perfectos. Los próximos tres números perfectos son 496, 8128 y 33550336. Así, los cinco primeros perfectos son 6, 28, 496, 8128 y 33550336. El gran Euclides (matemático griego que vivió alrededor del año 300 aC) se dio cuenta que los primeros cuatro números perfectos vienen dados por la fórmula [2^(n-1)]*[(2^n)-1] donde n es un número natural 2, 3, 5 y 7 respectivamente. Euclides demostró que si (2^n)-1 es un número primo entonces su fórmula genera un número perfecto. Aunque el recíproco no es necesariamente cierto.

Euler (gran matemático suizo) demostró, en el siglo XVIII, que “todos” los números perfectos pares vienen dados por la fórmula de Euclides. Queda como problema abierto de la matemática, todavía, probar que todo número perfecto es par. Si así lo fuera, entonces la simple fórmula que Euclides encontró para escribir los cuatro primeros números perfectos bastó para escribirlos a todos ellos. Eso se llama “eficiencia” de una mente lógica.

Nada diré sobre los números primos, pues ellos ocupan gran parte de mi devoción por la teoría de números. Ojalá algún día pueda escribir cierto teorema sobre ellos.