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domingo, diciembre 12, 2010

Una Falla de Russell

Bertand Russell fue un ardiente y escéptico pensador del siglo XX. No comparto ninguna de las idas que él desarrolló. Ni siquiera comparto su especulación sobre las conocidas paradojas de Russell. En esta breve nota quiero expresar una razón por la cual percibo que los fundamentos de sus paradojas estaban errados. Hecho que finalmente me conduce a sospechar que la aplicación de la lógica ingenuamente al estudio de entidades abstractas, que lo precedió, está aún vigente hoy. Print pdf.

¿Qué es una paradoja?. Una paradoja es un enunciado que resulta simultáneamente verdadero y falso. Desde el punto de vista del razonamiento lógico se conviene que un enunciado o es verdadero, o es falso. Por lo tanto si es que se deduce su verdad y falsedad simultáneamente es porque en algún lugar de esta lógica se habrá introducido tal inaceptable dualidad. Eso es lo que ocurrió con las paradojas de Russell sólo que este autor supuso que tal falla se deriva de la naturaleza misma de la lógica matemática utilizada en aquellos tiempos, y no advirtió un error que él mismo estaba cometiendo.

¿Cuál fue el razonamiento inicial de Russell?. Russell especuló con una idea sobre la clasificación de los conjuntos. Él consideró que cada conjunto debía pertenecer a una de dos categorías: aquella en la cual el conjunto mismo es un elemento del conjunto, y aquella en donde no lo es. Por ejemplo el conjunto de cucharas no es en sí mismo una cuchara por lo que no es un elemento del conjunto, mientras que el conjunto de cosas que no son cucharas tampoco es una cuchara por lo que es un elemento de sí mismo. Pero él no se preguntó demasiado sobre esta última entidad y de ese modo sembró la semilla de su propio error.

¿Dónde cometió el error?. Su error fue admitir que existen entidades que en rigor no existen. Él supuso la existencia de entidades en las cuales ellas mismas son un elemento constitutivo más de la entidad. Él derivo sin dificultades tal existencia por la mera existencia de la entidad complementaria en la cual tal entidad no es elemento de sí misma. Jamás se hizo la pregunta sobre aquella supuesta existencia.

¿Cuál es el error, concretamente?. Una manera de mostrarlo explícitamente es plantear la entidad, imaginada por Russel, mediante la siguiente equivalencia: E={E}UE. De este modo la entidad E es un elemento de E ya que está integrada, tal como pensaba Russell, por la unión entre ella misma como elemento {E} y ella misma como entidad. Pero si tal entidad existe, al ser la entidad E menos ella misma igual a una entidad vacía E\E=ø, entonces el elemento {E} es una entidad vacía lo cual es un absurdo pues la entidad {E} es un elemento, y un elemento nunca es vacío pues es un elemento. El absurdo proviene de suponer que existe la equivalencia postulada por Russell.

Si Russell se hubiese preguntado sobre la existencia de sus entidades extravagantes, él no habría deducido lógicamente sus enunciados paradójicos, del mismo modo que no se deducen a lo largo de esta nota. Es decir, yo no estaría escribiendo sobre enunciados paradójicos de Russell derivados de Una Falla de Russell.

Atte.
Juan Carlos Vera. Buenos Aires, Argentina.

2 comentarios:

juancvera dijo...

Advertido por un comentarista quiero reconocer un error, por omisión, que se observa en la demostración propuesta para la falla de Russell. El error se deriva al considerar E={E}UE sin aclarar su significado. Esta expresión supone originariamente que E no pertenece a E por lo que la unión {E}UE es disjunta. Tal enunciado, en sí contradictorio, es el resultado de una demostración que ha sido omitida en esta nota, pero que será detallada en una nota posterior titulada: Errar es Humano. Acepto las críticas y pido disculpas por el error...

Anónimo dijo...

Por lo que me ha parecido entender dices que los conjuntos que son miembros de sí mismos es una entidad falsa. Creo que hay varios argumentos que rebaten tu afirmación, como por ejemplo, si no existiera yin tampoco existiría yang, o sea en este caso los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Los dos tipos de conjuntos son opuestos y se complementan. Otra prueba que evidencia la existencia de los conjuntos que son miembros de sí mismos es la propia naturaleza fractal que está por todas partes http://www.youtube.com/watch?v=uas_HJNAzfw Entonces la sola creencia de los conjuntos que no son miembros de sí mismos es devido a la suposición a priori de la no existencia de entidades en las cuales ellas mismas son un elemento constitutivo más de la entidad. Si entendemos la naturaleza como el conjunto de todos los conjuntos comunes y corrientes, ¿es el conjunto de la naturaleza miembro de sí mismo?