Errar es Humano

Luego de escribir la nota sobre Una Falla De Russell, recibí un extraño email en donde se me alerta de un error muy evidente en la demostración que propongo para probar una falla que detecto en las paradojas de Russell. Las ofensas e insultos que contiene el email lo vuelven no publicable en mi blog. Pero, respetuosamente, acepto los argumentos expuestos por el comentarista. A continuación se expone ese argumento y se presenta una demostración, espero correcta, sobre la falla de Russell. Print pdf.

El comentarista afirma: En la expresión E={E}∪E, E pertenece a E por lo que si se extrae E de ambos lados queda vacío en ambos lados, y aceptar otra cosa es estúpido.

Este argumento es correcto siempre que se acepte como verdadera esa forma de escribir la entidad E. Pero ¿qué ocurre si tal escritura es incorrecta?. En tal caso se estaría aceptando como verdadero algo que es, a priori, falso. Lo que se pretendió resaltar con la demostración es que la entidad propuesta por Russell es tan absurda como suponer que una entidad pertenece y no pertenece a sí misma, simultáneamente.

Para aclarar el error cometido, propongo a continuación una prueba recurriendo a la siguiente observación:

Obs.\ Sea C=A∪{E} con A∩{E}=∅ (E∉A). Luego C≠E.
Dem.\ Quiero ver que C≠E. Por el absurdo.
Supongo C=E. Luego {E}={A∪{E}}. Esta igualdad de entidades se prueba por doble inclusión.
⊂) Trivial pues E∈{E}.
⊃) Sea x∈A. Luego x∉{E} ya que E es el único elemento de {E} y x≠E pues E∉A. Así se ha encontrado un elemento que está en {A∪{E}} y no está en {E} por lo que ambas entidades no pueden ser iguales. Pero esto es absurdo, lo cual se deriva de suponer que C=E. Se concluye entonces que C≠E. Y así queda probada la observación.

Si esta observación es verdadera, entonces la entidad E no se puede escribir como E=A∪{E} con A y {E} disjuntos. Por lo tanto, para que esta expresión sea válida, E no se puede separar de A con lo cual A=E. Es decir, y este es el supuesto de la primera demostración, el elemento E se puede, y no, separar de la entidad E. Con esto, la entidad E se puede escribir en un miembro como indisoluble del elemento E, y en el otro miembro como disoluble del elemento E, lo cual es contradictorio en sí mismo.

Si el razonamiento expuesto en la presente nota es válido, entonces valió la pena el error cometido en la nota sobre la falla de Russell. Más aún, y para tranquilidad del comentarista, si el razonamiento resultara no válido me permito recordarle que creo ser homo sapiens, con lo cual aspirar a ser sabio no me hace menos bestia. O, si se quiere, reconozco mis límites y dolorosamente acepto que Errar es Humano.

Atte.
Juan Carlos Vera. Buenos Aires, Argentina.